Fibonacci (Leonardo Fibonacci) ve Fibonacci dizisi…

Kim bu Fibonacci?

Pisalı Leonardo Fibonacci Rönesans öncesi Avrupa’nın en önde gelen Matematikçisidir. Fibonacci için, “Matematik’i Araplar’dan alıp, Avrupa’ya aktaran kişi” denilebilir.

Fibonacci ‘nin yaşamı hakkında matematik yazıları dışında pek az şey biliniyor. İlk ve en iyi bilinen kitabı Liber Abaci’nin yazıldığı 1202 tarihine bakılırsa, 1170 dolayında doğmuş olabileceği sanılıyor. Bu yönde pek kanıt olmamakla birlikte İtalya’nın Pisa kentinde doğmuş olması olasılığı var. Fibonacci henüz çocuk yaştayken, Pisa’lı bir tüccar olan babası Guglielmo, Pisalı tüccarların yaşadığı Bugia adlı Kuzey Afrika limanına Konsül olarak atanır. (Bu liman, şimdiki Bejaya’dır ve Cezayir’dedir.) Babası burada oğluna hesap öğretmesi için bir Arap hoca tutar. Fibonacci daha sonra Liber Abaci’de hocasından “Dokuz Hint Rakamının Sanatını” öğrenirken duyduğu mutluluğu anlatacaktır.

Fibonacci ‘nin Liber Abaci adlı kitabının yayınlandığı yıllarda, Hindu-Arap sayıları, Avrupa’da Harzemli Muhammed Bin Musa’nın eserlerinin çevirilerini okuyabilmiş bir kaç “aydın” dışında bilinmiyordu. Fibonacci, kitabında bu rakamları anlatmaya şöyle başlar: “Dokuz Hint Rakamı 9 8 7 6 5 4 3 2 1 dir . Bu dokuz rakama “0″ işaretinin de eklenmesiyle, her hangi bir sayı yazılabilir.”

Liber Abaci, 13.yy. Avrupasında büyük ilgi görür, çok sayıda kopya edilir ve kilisenin yasaklamasına karşın Arap sayıları İtalyan tüccarlar arasında yayılır. Kitap Kutsal Roma İmparatoru II. Frederick’in dikkatini çeker. Frederick bilime düşkün bir imparatordur. Bilim adamlarını korur. Bu nedenle kendisine Stupor Mudi (Dünya Harikası) denilmektedir. 1220 yılında Fibonacci huzura çağrılır. Frederick’in bilim adamlarından biri tarafından sınava çekilir. Sonunda Fibonacci göze girer. Yıllarca hem imparatorla, hem de imparatorun dostlarıyla yazışır. 1225 yılında yazdığı Liber Quadratornum’u (Kare Sayıların Kitabı) imparatora ithaf eder. ” Diyofantus Denklemleri”ne ayrılan bu kitap Fibonacci ‘nin baş yapıtıdır. Her ne kadar Liber Abaci’ye çok daha dar bir çevrenin ilgisini çekerse de kitap sayılar kuramına büyük katkı getirir.

1228′de Fibonacci, Liber Abaci’yi yeniden gözden geçirir ve kitabın bu ikinci yazılımını imparatorun baş bilimcisi Michael Socott’a ithaf eder. Bu tarihten 1240 yılına kadar Fibonacci hakkında hiç bir şey bilinmiyor. 1240′ta Pisa kenti kendisine kente yaptığı hizmetlerden dolayı “20 Pisa Lirası” yıllık bağlar. Bundan sonra Matematikçimiz ne kadar yaşadı, o da bilinmiyor.

Leonardo Fibonacci, Arap Matematik’ini kullanışlı Hindu-Arap sayılarını Batı’ya tanıtmakla çok büyük bir katkıda bulundu. Ancak ilginçtir, çağımız matematikçileri Fibonacci ‘nin adını. daha çok, Liber Abaci’de yer alan bir problemde ortaya çıkan bir sayı dizisi nedeniyle bilirler. Dolayısıyla Fibonacci ‘yi anlatan bir yazıda ” Fibonacci Sayıları”ndan ya da ” Fibonacci Dizisi”nden söz etmemek olmaz.Bu nedenle biz de bu bölümün geri kalan kesimini bu diziye ayıracağız …

(daha fazla…)

Bir A kümesi yaratmaya çalışıyoruz. Bu kümenin özelliği, yalnızca kendini içermeyen kümeleri içeriyor olması. Örneğin evrensel küme, varolan tüm kümeleri içeren bir kümedir. Varolan tüm kümeleri içerdiğine, ve kendisi de bir küme olduğuna göre, evrensel küme, evrensel kümenin bir elemanıdır, yani kendi kendini içerir. Ya da “Üçten fazla elemanı olan kümeler kümesi”, kendisi de üçten fazla elemana sahip olduğu için kendini içerir. Ama örneğin Doğal Sayılar Kümesi N, bir doğal sayı olmadığı için kendini içermez. İşte bizim A kümesinin içereceği kümeler böyle kümeler, yani kendi kendinin elemanı olmayanlar. Şimdi şu soruya cevap arıyoruz: A kümesi kendisini içerir mi?
Eğer “içerir” dersek, A kümesinin A kümesinde işi ne? Çünkü A kümesi sadece kendini içermeyen kümelerin kümesi. Eğer “içermez” diyorsak, A kümesi kendini içermeyen bir küme olur, o zaman A kümesini de A kümesine dahil etmeliyiz, ama o zaman da A, kendini içeren bir küme olur. Yine her zamanki kısırdöngüye yakalandık?

(daha fazla…)

Hala çözülememiş problemlerin yanında, çözümleri neredeyse efsane olmuş problemler, teoremler; tarihleri, önemleri. Bu sayfalarda, çözümlerini vermeyeceğiz ama çözümlerinin getirdiği ilerlemeleri inceleyeceğiz.

İşte Ünlü Problemler:

Yeryüzünde henüz cevabını kimsenin bilmediği sorular var!

• Goldbach Kestirimi
• Asal Sayılardan Karışık
• Mükemmel Sayı Sorusu
• Palindromik Sayılar
• Collatz Problemi
• Riemann Hipotezi
• Binyılın Problemleri

Goldbach Kestirimi

1742′de Goldbach, Euler’e yazdığı bir mektupta “2′den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir” önermesinin, ya doğru olduğunu ispatlamasını ya da bunu sağlamayan bir örnek göstererek yanlış olduğunu ispatlamasını istedi. Goldbach kestirimi olarak bilinen bu hipotezle asal sayılar dünyasına yeni bir heyecan geldi. Bu heyecan o gün bugündür tüm matematikseverleri sardı. Yine de henüz bir cevap bulunamadı.

(daha fazla…)

iⁱ kaç eder, nasıl hesaplanır?

Öncelikle Euler’in

formülünü bilmemiz gerekiyor. Gerisi formüle koymaya kalıyor:

Bunun da yaklaşık olarak sonucu şöyle:

Aslında i ⁱ sayısının sonsuz tane değeri vardır:

Peki i harfi nereden geliyor?
Bu arada i, İngilizce imaginary (sanal) kelimesinin baş harfini simgelmektedir ve bunu harfin kullanılmasını öneren İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’dir.

(daha fazla…)

Mükemmel Sayıların bu özelliğini biliyor muydunuz?

Mustafa Taylan FIRAT anlatıyor:
Mükemmel sayıları arayan arkadaşlar için Fermat’nın Son Teoremi kitabında gördüğüm zarif bir özelliği eklemek istedim. Sorulara ve cevaplarına baktım fakat bu özellikle ilgili bir bilgiye rastlamadım, eğer hali hazırda bahsedilmişse özür dilerim.

Mükemmel sayıların ortak özelliklerinden birisi de bir dizi sayma sayısının toplamı şeklinde yazılabilmeleridir. Örneğin ;

6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+6+7
496=1+2+3+4+5+…+30+31
8128=1+2+3+4+5+…..+126+127
33550336=1+2+3+4+5+6+……+8190+8191
8589869056=1+2+3+4+5+6+7+…..+131070+131071

Bu sayıları incelediğimizde toplamın son teriminin hep 2^n-1 gösterimini sağladığını ve bu zarif özelliğin Mükemmel sayılar için Euklidin bulduğu genel kural (2^(k-1))*(2^k-1) ile sahip olduğu sıkı bağı görebiliriz.

(daha fazla…)

16/12/2008 tarihinde, yeni oluşturduğum fraktallar adlı sayfamdaki konuyu sınıfta Neşe hocaya karşı anlatacağım… Eğer nasıl bir şey olduğunu merak ediyorsanız, indireceğiniz pdf dosyasına göz gezdirebilirsiniz…

Konu içeriğini kısaca şöyle belirtebilirim:

Fraktal geometriye giriş,
Fraktal geometri hakkında genel bilgi,
Fraktal geometrinin kısa tarihi,
Bazı bilinen fraktallar,

Bunlardan sonra asıl konum olan Üçlü Kantor Bulutu ve Sierpinski Halısının matematiksel analizini yapmış bulunuyorum. Dinlemek isteyen buyursun gelsin =)

Düzenleme: Neşe hocayı araken sevgili cebircimiz Yücel hocanın fikrini almak için odasının kapısını çaldığımda telefonda sanırım çocuğuyla konuşuyordu. Hoca içeri çağırdıktan sonra hazırladığım sunumu beğendi ve ben de dinlemek istiyorum dedi =) Yani iki hocaya ve 8 arkadaşa seminer verdim. Buradan destek olan hocalarıma teşekkürlerimi iletiyorum…

Düzenleme: Bu kadar ayrıntlı hazırlanan seminerin notu 100 oldu kendimi tebrik ediyorum…

Seminer notlarını indirmek için tıklayınız. (Kişisel klasörünün içerisinde…)

Evet doğru okudunuz ! Bir geometri sorusu 36 farklı yoldan çözülmüş. Matematik öğrencisi olarak ilk gördüğümde beni de çok heyecanladırdı. Eminim bu konuyla ilgilenmekten zevk alan kişileri de heyecanlandıracaktır. Çözümleri yapılan bu soru lise matematik olimpiyatı düzeyinde bir soruymuş. Böyle soruların çözümü için söylenecek bir söz varsa oda, “Muhakemenin sınırlarında gezmek kadar zevkli bir şey yoktur.” dur.

Bu tür sorular için kullanılan çözüm tekniğine Sentetik Çözüm denilmektedir. Eyüp Kamil Yeşilyurt hocamızın burada bildirdiğine göre ilk bu tekniği yunan matematikçiler kullanmıştır. Sentetik çözüm nedir derseniz kısaca şöyle açıklayabiliriz. Bir soru çözümünde soru içinde çözüme ulaşmak için doğrular, açılar, parallellikler , uzunluklar, kirişler dörtgeni vb. gibi bilindik yöntemleri kullanarak çözüme ulaşmaya deniyor. Sentetik çözüm diye adlandırılan bu yöntem hakkında daha fazla ayrıntı için EKY hocamızın yazısını okuyunuz.

Bu soruyu ve çözümlerini hazırlayan ve matematiktutkusu.com‘da yayınlanmasına izin veren Diyarbakır Sur Dershanesi Öğretmeni Mehmet Yaşar Bey’e çalışmalarından dolayı başarılar diliyoruz.

Sorumuz geliyor:

Şimdi de çözümlere bakalım:

(daha fazla…)